平面向量

平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量， 物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。

平面向量的基本要素

大小：

向量的长度，通常用向量的模表示，记作 |a|。

方向：

向量所指向的方向，可以用箭头表示。

平面向量的表示方法

几何表示法：

用有向线段表示向量，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

字母表示法：

用一个小写加粗的字母（如 a, b, c）表示向量。

坐标表示法：

用向量的坐标 （x, y） 表示，其中 x 和 y 分别是向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

平面向量的特殊类型

零向量：

长度等于 0 的向量，记作 0，其方向是任意的。

单位向量：

模等于 1 个单位长度的向量，通常用 e 表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用 i、j 表示。

相等向量：

长度相等且方向相同的向量。

相反向量：

长度相等且方向相反的向量，记作 -a。

平行向量（共线向量）：

方向相同或相反的非零向量，零向量与任意向量平行。

平面向量的线性运算

加法：

两个向量的和，可以通过三角形法则或平行四边形法则计算。

减法：

减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。

数乘：

一个向量与一个实数的乘积，结果是一个新的向量，其长度为原向量长度与实数的乘积，方向根据实数的正负确定。

平面向量的数量积

投影：

向量 b 在向量 a 方向上的投影是一个数量，等于 |b|cosθ，其中 θ 是 a 和 b 之间的夹角。

数量积：

a·b = |a||b|cosθ，结果是一个标量。

平面向量的应用

平面向量在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛应用，例如在力学中用来表示力和力矩，在计算机图形学中用来表示位移和旋转等。

平面向量的基本定理

平面向量基本定理：

如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数 λ1 和 λ2，使得 a = λ1e1 + λ2e2。

这些知识点构成了平面向量的基本概念和运算基础，掌握这些知识对于深入理解和应用平面向量至关重要。