向量的数量积（也称为点积）满足以下运算律：
交换律
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
证明：设 $\mathbf{a} = （a_1, a_2, \ldots, a_n）$ 和 $\mathbf{b} = （b_1, b_2, \ldots, b_n）$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n$，同理 $\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = b_1 a_1 + b_2 a_2 + \ldots + b_n a_n$，所以 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$。
数乘结合律
$\lambda （\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}） = （\lambda \mathbf{a}） \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot （\lambda \mathbf{b}）$
证明：设 $\mathbf{a} = （a_1, a_2, \ldots, a_n）$，$\mathbf{b} = （b_1, b_2, \ldots, b_n）$，$\lambda$ 为实数，则 $\lambda （\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}） = \lambda （a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots + a_n b_n）$，$（\lambda \mathbf{a}） \cdot \mathbf{b} = （\lambda a_1, \lambda a_2, \ldots, \lambda a_n） \cdot （b_1, b_2, \ldots, b_n） = \lambda a_1 b_1 + \lambda a_2 b_2 + \ldots + \lambda a_n b_n$，$\mathbf{a} \cdot （\lambda \mathbf{b}） = （a_1, a_2, \ldots, a_n） \cdot （\lambda b_1, \lambda b_2, \ldots, \lambda b_n） = \lambda a_1 b_1 + \lambda a_2 b_2 + \ldots + \lambda a_n b_n$，所以 $\lambda （\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}） = （\lambda \mathbf{a}） \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot （\lambda \mathbf{b}）$。
分配律
$（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$
证明：设 $\mathbf{a} = （a_1, a_2, \ldots, a_n）$，$\mathbf{b} = （b_1, b_2, \ldots, b_n）$，$\mathbf{c} = （c_1, c_2, \ldots, c_n）$，则 $（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \cdot \mathbf{c} = （a_1 + b_1） c_1 + （a_2 + b_2） c_2 + \ldots + （a_n + b_n） c_n$，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c} = （a_1 c_1 + a_2 c_2 + \ldots + a_n c_n） + （b_1 c_1 + b_2 c_2 + \ldots + b_n c_n） = （a_1 + b_1） c_1 + （a_2 + b_2） c_2 + \ldots + （a_n + b_n） c_n$，所以 $（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$。
这些运算律是向量数量积的基本性质，可以用于简化和推导向量的数量积表达式。