平面向量的加减运算是向量运算中的基本操作，涉及到向量的方向和大小的改变。以下是平面向量加减运算的详细解释：
向量加法
定义
向量加法是将两个或多个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
三角形法则
将各个向量依次首尾顺次相接，第一个向量的起点与最后一个向量的终点相连，则所得到的新向量就是这些向量的和。
平行四边形法则
将两个向量首尾相接，形成的平行四边形的对角线所对应的向量就是这两个向量的和。
交换律
向量加法满足交换律，即 $\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$。
结合律
向量加法满足结合律，即 $（\mathbf{a} + \mathbf{b}） + \mathbf{c} = \mathbf{a} + （\mathbf{b} + \mathbf{c}）$。
向量减法
定义
向量减法是求一个向量与另一个向量的差，即被减向量减去减向量。
三角形法则
向量减法可以通过三角形法则来实现，即任意两个向量的差等于第三个向量加上与第三个向量共线的向量。
平行四边形法则
向量减法也可以通过平行四边形法则来实现，即任意两个向量的差等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线所对应的向量。
结合律
向量减法满足结合律，即 $\mathbf{a} - \mathbf{b} - \mathbf{c} = \mathbf{a} - （\mathbf{b} + \mathbf{c}）$。
数乘分配律
向量减法满足数乘分配律，即 $\lambda （\mathbf{a} - \mathbf{b}） = \lambda \mathbf{a} - \lambda \mathbf{b}$。
模运算律
向量减法满足模运算律，即 $|\mathbf{a} - \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$。
交换律
向量减法满足交换律，即 $\mathbf{a} - \mathbf{b} = -\mathbf{b} + \mathbf{a}$。
应用
平面向量的加减运算在物理学中有广泛应用，例如力的合成与分解、电磁学中的洛伦兹力、速度与加速度的合成与分解等。
总结
平面向量的加减运算通过几何法则（如三角形法则和平行四边形法则）和代数法则（如交换律、结合律、数乘分配律和模运算律）来实现。这些运算在解决实际问题中非常有用，尤其是在需要处理矢量方向和大小的物理和工程问题中。