平面向量的数量积，也称为向量的内积，是两个非零向量之间的一种运算，其结果是一个标量（即实数）。数量积的定义如下：
定义 ：设两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的夹角为 $\theta$，则数量积 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 定义为 $|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$，记作 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta$。几何意义：
数量积的几何意义是一个向量在另一个向量方向上的投影长度乘以另一个向量的模长。具体来说，向量 $\mathbf{b}$ 在向量 $\mathbf{a}$ 方向上的投影长度是 $|\mathbf{b}| \cos \theta$，因此 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 等于这个投影长度乘以 $|\mathbf{a}|$。
坐标表示：
如果向量 $\mathbf{a} = （x_1, y_1）$ 和 $\mathbf{b} = （x_2, y_2）$，则它们的数量积可以通过对应坐标的乘积之和来计算，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$。
运算律
交换律：
$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$。
数乘结合律：$（\lambda \mathbf{a}） \cdot \mathbf{b} = \lambda （\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}） = \mathbf{a} \cdot （\lambda \mathbf{b}）$。
分配律：$（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$。
性质
零向量：零向量与任意向量的数量积为零，即 $0 \cdot \mathbf{a} = 0$。
单位向量：如果 $\mathbf{e}$ 是单位向量，且与 $\mathbf{a}$ 的夹角为 $\theta$，则 $\mathbf{e} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{e}| \cos \theta = \cos \theta$。
垂直向量：如果 $\mathbf{a} \perp \mathbf{b}$，则 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$。
同向向量：当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 同向时，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$；当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 反向时，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|$。
数量积的绝对值：$|\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| \cdot |\mathbf{b}|$，当且仅当 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线时等号成立。
常用公式
$（\mathbf{a} + \mathbf{b}） \cdot （\mathbf{a} - \mathbf{b}） = \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2$。
$（\mathbf{a} + \mathbf{b}）^2 = \mathbf{a}^2 + 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^2$。
$（\mathbf{a} - \mathbf{b}）^2 = \mathbf{a}^2 - 2 \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{b}^2$。
平面向量的数量积在几何学中有着广泛的应用，包括计算向量的投影、判断向量的垂直关系、求解向量的模长等。通过掌握数量积的定义、