求矩阵的特征值和特征向量的基本步骤如下：
计算特征多项式
首先，写出矩阵 $A$ 的特征多项式，即 $|λE - A|$，其中 $E$ 是单位矩阵，$λ$ 是特征值。
特征多项式是一个关于 $λ$ 的多项式，形式为 $λ^n + a_{n-1}λ^{n-1} + \cdots + a_1λ + a_0$。
求特征值
令特征多项式等于零，解这个方程得到 $λ$ 的值。这些值就是矩阵 $A$ 的特征值。
对于 $n$ 阶矩阵，特征多项式是一个 $n$ 次多项式，在复数域内有 $n$ 个根（重根按重数计算）。
求特征向量
对于每一个特征值 $λ_i$，将其代入方程 $（λ_iE - A）x = 0$，得到一个齐次线性方程组。
解这个齐次线性方程组，得到基础解系。基础解系中的非零向量就是对应于特征值 $λ_i$ 的特征向量。
注意，一个特征向量只能属于一个特征值，不同特征值对应的特征向量线性无关。
示例
假设有一个 $2 \times 2$ 矩阵 $A$：
$$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$
计算特征多项式
$$|λE - A| = \begin{vmatrix} λ - a & -b \\ -c & λ - d \end{vmatrix} = （λ - a）（λ - d） - bc = λ^2 - （a + d）λ + （ad - bc）$$
求特征值
$$λ^2 - （a + d）λ + （ad - bc） = 0$$
解这个二次方程得到特征值 $λ_1$ 和 $λ_2$。
求特征向量
对于 $λ_1$，解方程组：
$$\begin{pmatrix} a - λ_1 & -b \\ -c & d - λ_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
得到基础解系 $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} x_{11} \\ x_{12} \end{pmatrix}$。
对于 $λ_2$，解方程组：
$$\begin{pmatrix} a - λ_2 & -b \\ -c & d - λ_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
得到基础解系 $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x_{21} \\ x_{22} \end{pmatrix}$。
使用编程语言求解
在实际应用中，通常会使用编程语言（如 Python 或 MATLAB）中的函数来求解特征值和特征向量。例如，在 Python 中，可以使用 `numpy` 库中的 `linalg.eig` 函数：
```python
import numpy as np
A = np.array（[[a, b], [c, d]]）
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig（A）
```
这样可以直接得到特征值和特征向量。
总结
求矩阵的特征值和特征向量是通过求解特征多项式并找到其根来实现的。对于每个特征值，求解相应的齐次线性方程组得到特征向量。在实际操作中，可以使用数值方法或编程语言中的函数来简化计算。