向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种乘法运算。其结果是一个标量（实数），而不是向量。数量积的定义如下：
定义
设两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，它们的数量积记作 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$，定义为 $|\mathbf{a}| \times |\mathbf{b}| \times \cos \theta$，其中 $|\mathbf{a}|$ 和 $|\mathbf{b}|$ 分别是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的模（长度），$\theta$ 是 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。
坐标表示
如果向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 的坐标分别是 $（a_1, a_2, \ldots, a_n）$ 和 $（b_1, b_2, \ldots, b_n）$，那么它们的数量积可以表示为：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n
$$
几何意义
向量的数量积可以理解为两个向量在彼此方向上的投影的乘积。具体来说，$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ 等于向量 $\mathbf{a}$ 在向量 $\mathbf{b}$ 方向上的投影长度乘以向量 $\mathbf{b}$ 的模长。
性质
数量积满足交换律，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$。
数量积满足分配律，即对于任意向量 $\mathbf{c}$，有 $\mathbf{a} \cdot （\mathbf{b} + \mathbf{c}） = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$。
任意向量与零向量的数量积为零，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{0} = 0$。
向量与自身的数量积等于其模长的平方，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2$。
当两个向量垂直时，它们的数量积为零，即 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$ 当且仅当 $\theta = \frac{\pi}{2}$。
这些性质使得数量积在向量运算中非常有用，例如在计算向量的长度、夹角、投影等方面。