三角形四心的向量表示如下：
重心
重心是三角形三条中线的交点。设三角形的顶点为 $A, B, C$，重心为 $G$，则有：
$$
G = \frac{A + B + C}{3}
$$
外心
外心是三角形三条边垂直平分线的交点，也是外接圆的圆心。设三角形的三边分别为 $AB, BC, AC$，对应的中垂线分别为 $DE, EF, FD$，则外心 $O$ 是这三条垂直平分线的交点。可以通过以下步骤求出外心 $O$ 的坐标：
求三边的中点 $M_1, M_2, M_3$，即 $M_1 = \frac{A + B}{2}, M_2 = \frac{B + C}{2}, M_3 = \frac{A + C}{2}$。
求出两个垂直平分线的方向向量 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$，其中 $\mathbf{u} = M_2 - M_1, \mathbf{v} = M_3 - M_1$。
求出垂直平分线上一点 $P$，即 $P = M_1 + \frac{\mathbf{u} \times \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{u}}$。
$O$ 点的坐标为 $P$ 的向量表示，即 $O = P$。
内心
内心是三角形三条角平分线的交点，也是内切圆的圆心。设三角形的顶点为 $A, B, C$，内心为 $I$，则有：
$$
I = \frac{A \cdot \mathbf{AB} + B \cdot \mathbf{BC} + C \cdot \mathbf{CA}}{A \cdot \mathbf{AB} + B \cdot \mathbf{BC} + C \cdot \mathbf{CA}}
$$
其中，$\mathbf{AB}, \mathbf{BC}, \mathbf{CA}$ 分别为从顶点 $A$ 指向 $B, C, A$ 的单位向量。
垂心
垂心是三角形三条高所在直线的交点。设三角形的顶点为 $A, B, C$，垂心为 $H$，则有：
$$
H = \frac{A \cdot \mathbf{AB} + B \cdot \mathbf{BC} + C \cdot \mathbf{CA}}{A \cdot \mathbf{AB} + B \cdot \mathbf{BC} + C \cdot \mathbf{CA}}
$$
其中，$\mathbf{AB}, \mathbf{BC}, \mathbf{CA}$ 分别为从顶点 $A$ 指向 $B, C, A$ 的单位向量。
这些心点在三角形中具有特殊的性质和位置关系，通过向量的方法可以方便地表示和计算这些点的坐标。