分段函数是一种在定义域的不同区间上具有不同函数表达式的函数。为了更好地理解和解决分段函数问题，下面将通过几个例题进行详细解析。
例题1：求分段函数的定义域和值域
题目：求函数 $f（x）$ 的定义域和值域，其中
$$f(x) = \begin{cases}
x^2 & x \leq 0 \\
x + 1 & x > 0
\end{cases}$$
解析：
定义域 ：函数 $f（x）$ 在 $x \leq 0$ 和 $x > 0$ 上分别有定义，因此定义域为 $（-\infty, 0] \cup （0, +\infty）$。值域
当 $x \leq 0$ 时，$f（x） = x^2$，由于 $x^2 \geq 0$，所以 $f（x）$ 的值域为 $[0, +\infty）$。
当 $x > 0$ 时，$f（x） = x + 1$，由于 $x + 1 > 1$，所以 $f（x）$ 的值域为 $（1, +\infty）$。
综合：
函数 $f（x）$ 的值域为 $[0, +\infty）$。
例题2：求分段函数的函数值
题目
：已知函数 $f（x）$，求 $f（f（f（3）））$ 的值。
解析 1. 首先求 $f（3）$： 因为 $3 > 0$，所以 $f（3） = 3 + 1 = 4$。 2. 然后求 $f（f（3）） = f（4）$： 因为 $4 > 0$，所以 $f（4） = 4 + 1 = 5$。 3. 最后求 $f（f（f（3））） = f（5）$： 因为 $5 > 0$，所以 $f（5） = 5 + 1 = 6$。 例题3：求分段函数的最值 题目
$$f(x) = \begin{cases}
x^2 & x \leq 1 \\
x + 2 & x > 1
\end{cases}$$
解析：
在 $x \leq 1$ 区间
$f（x） = x^2$，这是一个开口向上的抛物线，在 $x = 0$ 处取得最小值 0，在 $x = 1$ 处取得最大值 1。
在 $x > 1$ 区间
$f（x） = x + 2$，这是一个斜率为 1 的直线，随着 $x$ 的增大，函数值也不断增大，没有最大值。
综合 ：函数 $f（x）$ 的最大值为 1。 例题4：求分段函数的解析式
题目
：已知函数 $f（x）$ 和 $g（x）$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，且 $g（x）$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 2 个单位，再沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位后，所得图象是由两条线段组成的折线。求 $f（x）$ 的解析式。
解析关于 $y = x$ 对称
：如果 $y = g（x）$，则 $x = f（y）$。
平移变换
$g（x）$ 沿 $x$ 轴向左平移 2 个单位，再沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位后，得到新的函数 $h（x）$，其解析式为 $h（x） = g（x + 2） + 1$。
还原 $f（x）$：
由于 $h（x） = x$，所以 $f（y） = y - 2$，即 $f（x） = x - 2$。
通过以上例题，我们可以看到分段函数在定义域的不同区间上具有不同的函数表达式，求解分段函数的问题时，需要分别考虑每个区间的函数表达式，并综合各段的结果。希望这些例题能帮助你更好地理解和掌握分段函数的相关知识。