反比例函数 $y = \frac{k}{x}$（其中 $k$ 是常数且 $k \neq 0$）的几何意义如下：
反比例系数：
$k$ 是反比例系数，它决定了两个变量之间的比例关系。具体来说，$k$ 等于自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的乘积，即 $k = xy$。
双曲线：
反比例函数的图像是一条经过原点的双曲线。这条双曲线的特点是，随着一个变量的增大，另一个变量会减小，反之亦然。
渐近线：
反比例函数的图像有两条渐近线，分别是 $x$ 轴和 $y$ 轴。双曲线会无限接近这两条轴，但永远不会与它们相交（因为 $y \neq 0$）。
面积：
在反比例函数的图像上任取一点 $P（x, y）$，过点 $P$ 分别向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线 $PM$ 和 $PN$，垂足分别为 $M$ 和 $N$。则矩形 $PMON$ 的面积为定值 $S = |k|$，这个面积与点 $P$ 在反比例函数图像上的位置无关。
对称性：
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点 $（x, y）$ 在图像上，那么点 $（-x, -y）$ 也在图像上。
综上所述，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的几何意义主要体现为反比例系数 $k$，它决定了变量之间的反比关系，并且其图像是一条经过原点的双曲线，具有特定的对称性和渐近线性质。