私下离婚和解的程序如下：
夫妻双方协商
双方需就孩子的抚养权和财产分配达成一致意见。
协商完毕后，双方应签署离婚协议书，明确双方的权利和义务。
申请离婚
双方携带身份证、户口簿、结婚证等相关证件，到民政局提出离婚申请。
民政局会对提交的材料进行初审，审核通过后发放《离婚登记申请受理回执单》。
离婚冷静期
从申请日起算，有30天的离婚冷静期。
在这期间，任何一方可以撤回离婚申请。
领取离婚证
冷静期结束后，双方需再次共同到婚姻登记机关提交离婚协议书、申请受理回执单等材料。
婚姻登记机关审查双方是否确属自愿离婚及协议内容是否合法，若符合条件，则予以登记并发放离婚证。
总结起来，私下离婚和解需要夫妻双方协商一致并签署离婚协议书，然后到民政局申请离婚，经过30天的冷静期后，双方再到民政局领取离婚证，从而解除婚姻关系。整个程序需要遵循相关法律规定，确保双方权益得到保障。