对数运算法则包括以下几种：
乘积的对数：
两个正数的积的对数等于同一底数的这两个数的对数的和。即：
$$
\log(N \cdot M) = \log N + \log M
$$
商的对数：
两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差。即：
$$
\log\left(\frac{N}{M}\right) = \log N - \log M
$$
幂的对数：
一个正数幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂的指数。即：
$$
\log(M^n) = n \log M
$$
平方根的对数：
一个正数的算术根的对数等于被开方数的对数除以根指数。即：
$$
\log\left(\sqrt[n]{M}\right) = \frac{1}{n} \log M
$$
换底公式：
对数的换底公式为：
$$
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
$$
其中，$a$、$b$、$c$均为正数，且$a \neq 1$，$c \neq 1$。
这些法则适用于所有正数底数和真数的情况，并且是数学中处理对数运算的基本工具。