导数公式及运算法则

导数公式及运算法则是微积分中的基本工具，用于描述函数在某一点的变化率。以下是常见的导数公式及其运算法则：

导数公式

常数函数

$y = c$（$c$ 为常数）

$y' = 0$

幂函数

$y = x^n$

$y' = nx^{n-1}$

指数函数

$y = a^x$

$y' = a^x \ln a$

$y = e^x$

$y' = e^x$

对数函数

$y = \log_a x$

$y' = \frac{\ln a}{x}$

$y = \ln x$

$y' = \frac{1}{x}$

三角函数

$y = \sin x$

$y' = \cos x$

$y = \cos x$

$y' = -\sin x$

$y = \tan x$

$y' = \frac{1}{\cos^2 x}$

$y = \cot x$

$y' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

反三角函数

$y = \arcsin x$

$y' = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$y = \arccos x$

$y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

$y = \arctan x$

$y' = \frac{1}{1 + x^2}$

$y = \text{arccot } x$

$y' = -\frac{1}{1 + x^2}$

导数运算法则

加法法则

$[f（x） + g（x）]' = f'（x） + g'（x）$

减法法则

$[f（x） - g（x）]' = f'（x） - g'（x）$

乘法法则

$[f（x） \cdot g（x）]' = f'（x） \cdot g（x） + f（x） \cdot g'（x）$

除法法则

$\left[\frac{f（x）}{g（x）}\right]' = \frac{f'（x） \cdot g（x） - f（x） \cdot g'（x）}{g（x）^2}$

复合函数求导法则

设 $y = f（g（x））$，则 $y' = f'（g（x）） \cdot g'（x）$

隐函数求导法则

设 $y = f（x）$ 在点 $x$ 的某邻域内具有连续偏导数，且 $F（x, y） = 0$，则 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$

这些公式和法则构成了微积分中求导的基础，广泛应用于各种数学和物理问题中。