拉普拉斯变换是一种线性积分变换，用于将实数域的函数或信号转换为复数域上的频谱表示形式。它在数学与信号处理领域中被广泛应用，尤其是在处理微分方程和控制系统问题时。拉普拉斯变换的基本公式如下：
拉普拉斯变换定义
$$
F（s） = \mathcal{L}\{f（t）\} = \int_0^\infty f（t） e^{-st} \, dt
$$
其中，$s = \sigma + j\omega$ 是复频率，$F（s）$ 是 $f（t）$ 的象函数，$f（t）$ 是 $F（s）$ 的原函数。
拉普拉斯逆变换
$$
f（t） = \mathcal{L}^{-1}\{F（s）\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{C} F（s） e^{st} \, ds
$$
其中，$C$ 是一条包含实部为零的闭合曲线。
常用拉普拉斯变换公式
延迟公式：
$$
L[f（t-t_0）] = e^{-st_0}F（s）
$$
一阶系统响应公式：
$$
H（s） = \frac{1}{s - a}
$$
其中，$a$ 是系统的时间常数。
二阶系统响应公式：
$$
H（s） = \frac{1}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
$$
其中，$\zeta$ 是阻尼比，$\omega_n$ 是自然频率。
电源激励公式：
$$
V = sLI, \quad I = sCV
$$
传递函数：
$$
H（s） = \frac{1}{RC} \cdot \frac{1}{s + \frac{1}{RC}}
$$
其中，$R$ 是电阻，$C$ 是电容。
拉普拉斯变换的性质
线性：拉普拉斯变换是线性的，即对于任意常数 $k$ 和函数 $f（t）$ 和 $g（t）$，有：
$$
\mathcal{L}\{kf（t） + kg（t）\} = k\mathcal{L}\{f（t）\} + k\mathcal{L}\{g（t）\}
$$
时移：
$$
L[f（t-t_0）] = e^{-st_0}F（s）
$$
频移：
$$
L[e^{j\omega t}f（t）] = F（s + j\omega）
$$
微分：
$$
L\{\frac{d}{dt}f（t）\} = sF（s） - f（0）
$$
积分：
$$
L[\int_0^t f（τ） \, dτ] = \frac{1}{s}F（s）
$$
这些公式和性质是拉普拉斯变换在信号处理和控制系统分析中非常重要的工具。通过这些公式，可以将复杂的时域问题转换为简单的复频域问题，从而更容易地求解和分析。