对数函数具有以下性质：
定义域和值域
定义域：正实数集合，即 $x > 0$。
值域：实数集合，即 $y \in \mathbb{R}$。
对数函数与指数函数的关系
对数函数 $y = \log_a x$ 与指数函数 $y = a^x$ 是互为反函数的关系。
互为反函数的性质：$\log_a （a^x） = x$ 和 $a^x = \log_a x$ 成立。
基本性质
$\log_a 1 = 0$，因为 $a^0 = 1$。
$\log_a a = 1$，因为 $a^1 = a$。
$\log_a （ax） = x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$，$x$ 为实数。
单调性
当 $a > 1$ 时，对数函数在其定义域 $（0, +\infty）$ 内是单调递增的。
当 $0 < a < 1$ 时，对数函数在其定义域 $（0, +\infty）$ 内是单调递减的。
定点
对数函数的图像恒过定点 $（1, 0）$，即当 $x = 1$ 时，$y = 0$。
奇偶性
对数函数既不是奇函数也不是偶函数，因为对于任意的 $x$ 值，其对应的 $y$ 值和 $-y$ 值并不相等，也不关于原点对称。
周期性
对数函数没有周期性，即对于任意的正整数 $k$，函数 $f（x + k） \neq f（x）$。
值域
对数函数的值域为全体实数 $\mathbb{R}$，这是因为对于任意的实数 $y$，都存在一个正数 $x$ 使得 $y = \log_a x$。
对数运算法则
$\log_a （MN） = \log_a M + \log_a N$。
$\log_a \left（\frac{M}{N}\right） = \log_a M - \log_a N$。
$\log_a （M^n） = n \log_a M$。
$\log_a \left（M^n\right） = \frac{1}{n} \log_a M$。
换底公式：$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$，其中 $c$ 是新的底数。
这些性质使得对数函数在数学分析、代数和工程等领域具有广泛的应用。