傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法，它揭示了信号的频率成分。对于连续信号f（t），其傅里叶变换F（ω）定义为：
F（ω） = ∫−∞∞f（t）e−iωt dt
其中，F（ω）是频域信号，ω是频率，j是虚数单位。
这个公式表明，傅里叶变换是通过对信号f（t）与复指数函数e−iωt的乘积在整个时间轴上进行积分得到的。这个复指数函数在复平面上的模长为1，相位为i，表示相位延迟。
傅里叶变换的核心思想是将一个复杂的时域信号分解为一系列正弦波和余弦波的叠加，这些正弦波和余弦波的频率、振幅和相位通过傅里叶变换得到。这种分解有助于我们更好地理解信号的频率特性，从而可以在频域中对信号进行滤波、压缩、解调等操作。
傅里叶变换的逆变换可以将频域信号F（ω）还原为原始时域信号f（t），公式如下：
f（t） = F（ω） * e^（iωt）
这个逆变换过程是将频域中的正弦波和余弦波重新组合成原始的时域信号。
在实际应用中，傅里叶变换被广泛应用于信号处理、通信、图像处理、音频处理等领域。例如，在信号去噪中，可以通过在频域中对信号进行滤波来去除噪声成分，保留信号的有用信息。在通信领域，傅里叶变换用于分析调制解调信号的频谱特性，从而设计出高效的通信系统。在图像处理中，傅里叶变换用于图像压缩、去噪和特征提取等。