几何分布是一种离散型概率分布，用于描述在独立重复的伯努利试验中，第一次成功所需的试验次数。其概率质量函数（PMF）为：
\[ P（X = k） = （1 - p）^{k - 1} p \]
其中：
\（ X \） 是试验所需的次数。
\（ p \） 是每次试验成功的概率。
\（ k \） 是试验次数，且 \（ k = 1, 2, 3, \ldots \）。
几何分布的期望值 \（ E（X） \） 和方差 \（ D（X） \） 分别为：
\[ E（X） = \frac{1}{p} \]
\[ D（X） = \frac{1 - p}{p^2} \]
几何分布适用于一些实际问题，例如掷硬币直到出现正面朝上的次数、在一定范围内不断寻找客户直到成功的营销问题等。
应用场景
几何分布常用于以下场景：
掷硬币问题：
假设你不断掷硬币，直到第一次出现正面，求出现正面所需的次数。
营销问题：
假设你在一个区域内不断寻找客户，直到找到第一个客户，求找到第一个客户所需的尝试次数。
可靠性工程：
在机械或电子系统中，几何分布常用于描述系统在第一次故障前的工作时间。
示例
假设小明每次表白成功的概率是0.2，那么小明表白在2次之内成功的概率是多少？
\[ P（X \leq 2） = P（X = 1） + P（X = 2） \]
\[ P（X = 1） = 0.2 \]
\[ P（X = 2） = 0.8 \times 0.2 = 0.16 \]
\[ P（X \leq 2） = 0.2 + 0.16 = 0.36 \]
因此，小明在2次之内表白成功的概率是0.36。
总结
几何分布是一种描述独立重复试验中第一次成功所需次数的概率分布，具有简单的概率质量函数和明确的期望与方差。它在许多实际问题中都有广泛的应用。