二项分布的期望和方差是概率论和统计学中非常重要的概念，它们分别表示在多次独立重复试验中成功次数的平均数和波动程度。
期望（Expected Value）
期望值表示在多次重复实验中，我们期望的成功次数。
对于二项分布 \（B（n, p）\），期望值 \（E（X）\） 的计算公式为：
\[
E（X） = n \cdot p
\]
其中，\（n\） 是试验的总次数，\（p\） 是每次试验成功的概率。
方差（Variance）
方差衡量的是成功次数的波动程度，即数据偏离期望值的程度。
对于二项分布 \（B（n, p）\），方差 \（Var（X）\） 的计算公式为：
\[
Var（X） = n \cdot p \cdot （1 - p）
\]
其中，\（n\） 是试验的总次数，\（p\） 是每次试验成功的概率。
示例
假设我们进行10次抛硬币的试验，每次正面朝上的概率为0.5，那么：
期望值 \（E（X）\） 为：
\[
E（X） = 10 \cdot 0.5 = 5
\]
方差 \（Var（X）\） 为：
\[
Var（X） = 10 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 2.5
\]
证明
二项分布的期望和方差可以通过以下几种方法证明：
分解法
将二项分布 \（X\） 分解成 \（n\） 个相互独立的、服从参数为 \（p\） 的 \（0-1\） 分布的随机变量之和 \（X = X_1 + X_2 + \cdots + X_n\），其中 \（X_i\） 的期望和方差分别为 \（p\） 和 \（p（1-p）\）。
因此，总体的期望和方差分别为：
\[
E（X） = E（X_1 + X_2 + \cdots + X_n） = n \cdot p
\]
\[
Var（X） = Var（X_1 + X_2 + \cdots + X_n） = n \cdot p \cdot （1 - p）
\]
直接计算法
通过数学期望的定义直接计算 \（E（X）\） 和 \（Var（X）\）：
期望 \（E（X）\） 为：
\[
E（X） = \sum_{k=0}^{n} k \cdot P（X=k） = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k p^k （1-p）^{n-k}
\]
通过求和公式和组合数的性质，可以简化为 \（n \cdot p\）。
方差 \（Var（X）\） 为：
\[
Var（X） = E（X^2） - [E（X）]^2
\]
其中，
\[
E（X^2） = \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot P（X=k） = \sum_{k=0}^{n} k^2 \cdot C_n^k p^k （1-p）^{n-k}
\]
通过求和公式和组合数的性质，可以简化为 \（n \cdot p \cdot （1-p）\）。
总结
二项分布的期望和方差分别为 \（E（X） = np\） 和 \（Var（X） = np（1-p）\），其中 \（n\） 是试验次数，\（p\） 是每次试验成功的概率。这些公式在概率论和统计学中被广泛应用，用于描述和分析独立重复试验的成功次数及其波动情况。