韦达定理描述了二次方程的根与其系数之间的关系。对于一般形式的二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，如果它的两个根是 $x_1$ 和 $x_2$，那么根据韦达定理，我们有：
1. 根的和 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
2. 根的积 $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
推导过程
方法一：因式分解法
假设二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 可以分解为两个一次因式的乘积：
$$ax^2 + bx + c = a（x - x_1）（x - x_2）$$
展开右侧得：
$$ax^2 + bx + c = ax^2 - a（x_1 + x_2）x + ax_1x_2$$
比较系数，我们可以得到：
1. 系数比较：$a = a$（自然成立）
2. $x$ 项系数比较：$-a（x_1 + x_2） = b$，从而 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
3. 常数项比较：$ax_1x_2 = c$，从而 $x_1x_2 = \frac{c}{a}$
这就证明了韦达定理的第一部分。
方法二：求根公式法
使用二次方程的求根公式：
$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$
我们可以找到根的和与积：
1. 根的和：
$$x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$
2. 根的积：
$$x_1x_2 = \left（\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right） \left（\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right） = \frac{b^2 - （b^2 - 4ac）}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$
这同样证明了韦达定理。
结论
通过以上两种方法，我们都可以推导出韦达定理。第一种方法通过因式分解法直观地展示了根与系数之间的关系，而第二种方法则通过求根公式法数学地证明了这些关系。无论采用哪种方法，最终我们都得到了韦达定理的表达式。