正弦定理证明

正弦定理是三角学中的一个基本定理，它表明在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。下面介绍几种常见的正弦定理证明方法：

利用三角形的高来证明

在锐角三角形ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c，从角C向c边做垂线，垂足为D。则有$CD=a\sin B = b\sin A$。由此可得$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

利用三角形的外接圆来证明

在锐角三角形ABC中，作ABC的外接圆O，作直径BD交⊙O于D，连接DA。因为直径所对的圆周角是直角，所以∠DAB=90°。因为同弧所对的圆周角相等，所以∠D等于∠C。于是有$\frac{c}{\sin C} = \frac{BD}{2R} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$。

利用向量的方法证明

记向量i垂直于AC于C，ABC三边AB, BC, CA为向量a, b, c。因为i与a, b, c都垂直，所以i·a = i·b = i·c = 0。由向量的加法原则可得a·cos（180°-（C-90°）） + b·cos（180°-（B-90°）） + c·cos（180°-（A-90°）） = -asinC + bsinA + csinB = 0。整理可得$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = \frac{b}{\sin B}$。

利用三角形面积公式来证明

在三角形ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c。作CD⊥AB垂足为点D，作BE⊥AC垂足为点E，则CD=a·sinB, BE=c·sinA。由三角形面积公式得：AB·CD = AC·BE，即c·a·sinB = b·c·sinA。整理可得$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。

这些方法都可以用来证明正弦定理，选择哪种方法可以根据具体情况和个人习惯。在实际应用中，外接圆法和向量法是比较常用和直观的证明方法。