外接圆半径的计算公式为：
\[ r = \frac{2S}{a + b + c} \]
其中：
\（ r \） 是外接圆的半径，
\（ S \） 是多边形的面积，
\（ a \）, \（ b \）, \（ c \） 分别是多边形的三条边长。
这个公式适用于所有多边形，包括三角形、四边形等。对于三角形，外接圆的圆心是任意两边的垂直平分线的交点，也称为三角形的外心。
此外，还可以通过正弦定理来推导外接圆半径的公式：
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]
其中 \（ R \） 是外接圆的半径，\（ A \）, \（ B \）, \（ C \） 分别是三角形的三个内角。通过这个公式，可以得出：
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
其中 \（ S \） 是三角形的面积，计算公式为：
\[ S = \frac{1}{2}bc \sin A \]
将面积公式代入外接圆半径公式中，可以得到：
\[ R = \frac{abc}{4 \times \frac{1}{2}bc \sin A} = \frac{abc}{2bc \sin A} = \frac{a}{2 \sin A} \]
这与通过正弦定理直接得出的公式是一致的。
因此，外接圆半径的计算公式可以表示为：
\[ r = \frac{2S}{a + b + c} \]
或者
\[ R = \frac{abc}{4S} \]
或者
\[ R = \frac{a}{2 \sin A} \]
这些公式都可以用来计算多边形的外接圆半径，具体使用哪个公式可以根据已知条件选择。