正交变换是 线性代数和 几何学中的一类重要变换，具有以下关键特性：
保持长度不变：
变换后的向量的长度与变换前相同。
保持角度不变：
变换后的向量之间的角度与变换前相同。
使用正交矩阵表示：
正交变换可以用正交矩阵来表示，正交矩阵是指其转置矩阵等于其逆矩阵的矩阵，即满足 \（ A^T A = I \），其中 \（ I \） 是单位矩阵。
列向量（或行向量）都是单位向量：
并且这些向量之间两两正交。
行列式为 ±1：
正交矩阵的行列式只可能为 +1 或 -1。
正交变换的主要类型包括：
旋转变换：将向量旋转一个固定角度，方向改变，但长度保持不变。
反射变换：将向量反射到某一轴上。
正交变换在多个领域有广泛应用，例如：
信号处理：正交变换如离散傅里叶变换（DFT）和离散余弦变换（DCT）在信号处理中被广泛应用。
图像处理：用于图像的旋转、缩放和滤波等操作。
量子力学：在量子计算和量子信息理论中，正交变换用于描述量子态的演化。
正交变换的一个重要性质是它可以化二次型为标准型，这在优化问题和特征值分解等问题中非常有用。
总结来说，正交变换是一种保持向量长度和角度不变的线性变换，具有广泛的应用价值。