三角形重心定理的证明可以通过多种方法进行，以下是几种常见的证明方法：
方法一：利用中位线性质和平行四边形性质
1. 设三角形ABC，其中D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF。
2. 由于EF是中位线，所以EF平行于BC且EF等于BC的一半。
3. 由此可得△EFG相似于△BCG，因此G是BE的三等分点（靠近B）。
4. 同理，G也是AD和CF的三等分点（靠近A和C）。
5. 由于这样的特殊点只有一个，所以AD、BE、CF三线交于一点，即重心，且该点到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。
方法二：利用向量方法
1. 设三角形ABC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF。
2. 设向量AG为a，向量GD为b，则a = b + c，其中c是向量AD。
3. 由于D是BC的中点，向量BD = 1/2向量BC；E是AC的中点，向量CE = 1/2向量AC。
4. 根据向量的加法和数乘法则，a = 2b + c，b = 2c + d，其中d是向量BE。
5. 将向量a和向量b的表达式代入a = b + c中，得到2b + c = 2c + d + c，化简后得到b = d。
6. 由于b是向量GD，d是向量BE，所以b = 1/2向量BC，d = 1/2向量AC。
7. 由此可得向量BC = 向量AC，即BC = AC。
8. 因此，重心G到顶点A的距离是重心G到对边中点D距离的两倍。
方法三：利用平面几何法
1. 设三角形ABC，其中D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF。
2. 假设中线AL与BM交于G，且C与G的连线与AB边交于N。
3. 延长GL并在延长线上取点D，使GL = LD。
4. 由于四边形BDCG的对角线互相平分，所以BDCG是平行四边形，从而BG∥DC，即GM∥DC。
5. 由于M是AC的中点，所以G是AD的中点。
6. 另一方面，GC∥BD，即NG∥BD。由于G是AD的中点，所以N是AB的中点。
7. 因此，AG:GL = 2:1，同理可证BG:GM = 2:1，CG:GN = 2:1。
方法四：利用燕尾定理和塞瓦定理
1. 设三角形ABC，D、E、F分别是BC、AC、AB的中点，连接AD、BE、CF。
2. 根据燕尾定理，SAOB = SAOC，又SAOB = SBOC，所以SAOC = SBOC。
3. 应用从中点得AF = BF，命题得证。
结论
三角形的重心定理可以通过多种方法进行证明，以上列举了几种常见的证明方法。无论采用哪种方法，都可以得出三角形的三条中线交于一点，且该点到顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。