椭圆焦点三角形面积公式的推导过程如下：
设定变量和角度
设椭圆上任意一点为 $P（x_0, y_0）$，两个焦点分别为 $F_1（-c, 0）$ 和 $F_2（c, 0）$，其中 $c = \sqrt{a^2 - b^2}$。
设 $\angle F_1PF_2 = \theta$，则 $\angle F_2F_1P = \alpha$ 和 $\angle F_1F_2P = \beta$，且 $\alpha + \beta + \theta = 180^\circ$。
使用正弦定理
根据正弦定理，在 $\triangle PF_1F_2$ 中，有：
$$
\frac{|PF_1|}{\sin \alpha} = \frac{|PF_2|}{\sin \beta} = \frac{|F_1F_2|}{\sin \theta}
$$
其中 $|F_1F_2| = 2c$。
计算离心率
由 $\sin \theta = \sin（\alpha + \beta）$，可以得到离心率 $e$：
$$
e = \frac{c}{a} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha + \sin \beta}
$$
使用余弦定理
由余弦定理，在 $\triangle PF_1F_2$ 中，有：
$$
|F_1F_2|^2 = |PF_1|^2 + |PF_2|^2 - 2|PF_1||PF_2|\cos \theta
$$
代入 $|F_1F_2| = 2c$ 和 $|PF_1| + |PF_2| = 2a$，得到：
$$
4c^2 = (2a)^2 - 2|PF_1||PF_2| - 2|PF_1||PF_2|\cos \theta
$$
$$
4c^2 = 4a^2 - 2|PF_1||PF_2| - 2|PF_1||PF_2|\cos \theta
$$
$$
2|PF_1||PF_2| = 4a^2 - 4c^2 = 4b^2
$$
$$
|PF_1||PF_2| = 2b^2
$$
计算面积
使用三角形面积公式 $S = \frac{1}{2}ab\sin C$，在 $\triangle PF_1F_2$ 中，有：
$$
S = \frac{1}{2} |PF_1||PF_2|\sin \theta
$$
代入 $|PF_1||PF_2| = 2b^2$ 和 $\sin \theta = \frac{2b}{2a} = \frac{b}{a}$，得到：
$$
S = \frac{1}{2} \cdot 2b^2 \cdot \frac{b}{a} = b^2 \cdot \frac{b}{a}
$$
由于 $\tan \frac{\theta}{2} = \frac{b}{a}$，所以：
$$
S = b^2 \cdot \tan \frac{\theta}{2}
$$
综上所述，椭圆焦点三角形的面积公式为：
$$
S = b^2 \cdot \tan \frac{\theta}{2}
$$
其中，$\theta$ 为焦点三角形的顶角，$b$ 为椭圆的短半轴长。