托勒密定理的证明可以通过多种方法进行，以下是几种常见的证明方法：
方法一：相似三角形法
1. 设圆内接四边形为ABCD，对角线AC与BD相交于点O。
2. 连接AO、BO、CO、DO。
3. 由于∠AOB = ∠COD = 180°，且∠AOC = ∠BOD（圆内接四边形的对角互补），所以四边形AOBD和CODC都是圆内接三角形。
4. 通过相似三角形AOB ∽ COD，得到AO/OC = BO/OD。
5. 通过相似三角形AOD ∽ COB，得到AD/BC = AO/OC。
6. 将上述比例关系结合，得到AC·BD = AB·CD + AD·BC。
方法二：旋转法
1. 设三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，其中∠C为直角。
2. 将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形ADC。
3. 连接AB、CD、AD，则四边形ABCD是一个正方形。
4. 根据勾股定理，有AC² = AD² + CD²。
5. 因为ABC≌ADC（SAS），所以AB = AD，BC = CD。
6. 因此，AB² + BC² = AD² + CD²。
7. 由于∠ACB = 90°，所以AC² = AB² + BC²。
8. 结合第4步和第7步的结果，我们得到AC² = AD² + CD² = AB² + BC²。
9. 所以，a²+b²=c²。
方法三：复数法
1. 设ABCD是圆内接四边形，其顶点坐标分别为A（a）、B（b）、C（c）、D（d）。
2. 将A、B、C、D看作复数，则AB = b - a，CD = d - c，AC = c - a，BD = d - b。
3. 根据复数恒等式（a-b）（c-d） + （a-d）（b-c） = （a-c）（b-d），两边取模，得到AC·BD = AB·CD + AD·BC。
方法四：面积法
1. 设圆内接四边形ABCD的面积为S₁，对角线AC和BD将四边形分成四个三角形，其面积分别为S₂、S₃、S₄、S₅。
2. 通过面积关系S₁ = S₂ + S₃ = S₄ + S₅，结合对角线将四边形分成的面积关系，可以推导出AC·BD = AB·CD + AD·BC。
以上方法都可以证明托勒密定理，选择哪种方法可以根据具体情况和个人习惯进行选择。