代数式可以根据其特性和所包含的运算进行分类。以下是代数式的主要分类：
有理式
整式：
单项式：没有加减运算的整式，例如 $x^2$ 或 $3a$。
多项式：几个单项式的代数和，例如 $x^2 + 3x + 2$。
分式：分母中含有字母的有理式，例如 $\frac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}$。
无理式
根式：含有开方运算且被开方数含有字母的代数式，例如 $\sqrt{x^2 + 3x + 2}$。
非整数次乘方：例如 $x^{\frac{2}{3}}$。
超越式：含有除法运算且除式中含有字母的代数式，例如 $\frac{x^2 + 3x + 2}{x - 1}$（虽然可以化简为整式，但其原始形式为分式）。
其他特殊类型
单项式：单独一个数或字母也是代数式，例如 $5$ 或 $x$。
多项式：几个单项式的代数和，例如 $x^2 + 3x + 2$。
齐次多项式：各项次数相同的多项式，例如 $x^2 + 2xy + y^2$。
不可约多项式：次数大于零的有理系数的多项式，不能分解为两个次数大于零的有理数系数多项式的乘积，例如 $x^2 + 3x + 2$。
对称多项式：在多元多项式中，如果任意两个元互相交换所得的结果都和原式相同，则称此多项式是关于这些元的对称多项式，例如 $x^2 + y^2 + 2xy$。
同类项：多项式中含有相同的字母，并且相同字母的指数也分别相同的项，例如 $3x^2y$ 和 $5x^2y$。
综上所述，代数式可以分为有理式和无理式两大类，而有理式又包括整式和分式。整式进一步分为单项式和多项式。无理式则包括根式、非整数次乘方和超越式等。此外，还有齐次多项式、不可约多项式、对称多项式和同类项等特殊类型。