切比雪夫多项式是一组以俄国数学家彼得·切比雪夫命名的特殊函数，它们在数学、物理学和技术科学中有着广泛的应用。切比雪夫多项式主要分为两类：第一类切比雪夫多项式 $T_n（x）$ 和第二类切比雪夫多项式 $U_n（x）$。
第一类切比雪夫多项式 $T_n（x）$
第一类切比雪夫多项式通过以下递归关系定义：
$$
T_0（x） = 1, \quad T_1（x） = x
$$
$$
T_{n+1}（x） = 2xT_n（x） - T_{n-1}（x）
$$
其母函数为：
$$
\sum_{n=0}^\infty T_n（x）t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}
$$
第一类切比雪夫多项式的根被称为切比雪夫节点，它们在区间 $[-1, 1]$ 上具有最小偏差，因此在多项式插值中非常有用。
第二类切比雪夫多项式 $U_n（x）$
第二类切比雪夫多项式通过以下递归关系定义：
$$
U_0（x） = 1, \quad U_1（x） = 2x
$$
$$
U_{n+1}（x） = 2xU_n（x） - U_{n-1}（x）
$$
其母函数为：
$$
\sum_{n=0}^\infty U_n（x）t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}
$$
第二类切比雪夫多项式在逼近理论中也非常重要，尤其是在需要最小化最大误差的场合。
切比雪夫多项式的性质
正交性：
第一类和第二类切比雪夫多项式在区间 $[-1, 1]$ 上是正交的。
根的性质：
第一类切比雪夫多项式的根是 $\cos\left（\frac{k\pi}{n+1}\right）$，其中 $k = 0, 1, 2, \ldots, n$。
应用：
切比雪夫多项式在多项式插值、数值分析和逼近理论中有广泛应用，特别是在需要最小化误差的情况下。
计算切比雪夫多项式
切比雪夫多项式可以通过多种方法计算，包括递归关系、母函数和三角恒等式。例如，第一类切比雪夫多项式也可以通过以下三角恒等式表示：
$$
T_n（x） = \cos（n \arccos x）
$$
结论
切比雪夫多项式是一组重要的特殊函数，具有广泛的应用价值。它们在数学、物理学和技术科学中扮演着重要角色，尤其是在需要高精度计算和逼近的场合。通过递归关系和三角恒等式，可以有效地计算切比雪夫多项式的值。