勒让德多项式是一组正交多项式，它们在区间[-1,1]上关于L2内积满足正交性。勒让德多项式可以通过Gram-Schmidt正交化过程从简单的多项式基底x^n得到，但它们本身并非正交。勒让德多项式的表达式如下：
P\_0（x） = 1
P\_n（x） = （1/2^n n!） \frac{d^n}{dx^n}[（x^2-1）^n]，其中x \in [-1,1]，n = 1,2, ...
另一个表示勒让德多项式的方法是使用罗德里格公式：
P\_n（x） = \sum_{k=0}^{[n/2]}（-1）^k \frac{（2n-2k）!}{2^n k!（n-k）!（n-2k）!} x^{n-2k}，其中[n/2]表示高斯取整函数
勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，例如在球坐标中求解三维拉普拉斯方程时，问题会归结为勒让德方程的求解。此外，勒让德多项式还在数学的许多其他领域中有着重要的应用。