多项式除法是一种用于将一个多项式（被除式）除以另一个多项式（除式）的方法。它类似于我们熟悉的整数除法，但是处理的是多项式而不是整数。多项式除法的结果通常包括一个商式和一个余式。如果余式为零，则可以说被除式能被除式整除。
多项式除法的基本步骤
排列：
首先，将两个多项式按照某个字母（通常是x）的降幂排列，并确保被除式中没有缺失的项，必要时用零补齐。
除法：
用被除式的最高次数项除以除式的最高次数项，得到商的最高次数项。
乘法：
将商的最高次数项乘以除式，得到一个临时的多项式。
减法：
将临时多项式与被除式相减，得到一个新的被除式。
重复：
重复步骤2至4，直到新的被除式的最高次数项小于除式的最高次数项，或者余式为零。
结果：
最终得到的商就是多项式除法的结果，余式是除法完成后剩下的部分。
示例
假设我们有两个多项式：
被除式：$P（x） = 3x^3 + 2x^2 - 5x - 1$
除式：$Q（x） = x - 2$
按照多项式除法的步骤：
1. 排列：
$P（x）$ 和 $Q（x）$ 已经按照x的降幂排列。
2. 除法：
$3x^3 \div x = 3x^2$，所以商的最高次数项是 $3x^2$。
3. 乘法：
$3x^2 \times （x - 2） = 3x^3 - 6x^2$。
4. 减法：
$（3x^3 + 2x^2 - 5x - 1） - （3x^3 - 6x^2） = 8x^2 - 5x - 1$。
5. 重复：
$8x^2 \div x = 8x$，所以下一个商项是 $8x$。
$8x \times （x - 2） = 8x^2 - 16x$。
$（8x^2 - 5x - 1） - （8x^2 - 16x） = 11x - 1$。
6. 重复：
$11x \div x = 11$，所以下一个商项是 $11$。
$11 \times （x - 2） = 11x - 22$。
$（11x - 1） - （11x - 22） = 21$。
最终结果：
商式：$3x^2 + 8x + 11$
余式：$21$
所以，$P（x） = （x - 2）（3x^2 + 8x + 11） + 21$。
合成除法
对于某些情况，特别是当除数是线性多项式（形如 $x - c$）时，可以使用合成除法来简化计算。合成除法通过设置一个表格来逐步计算商式的系数，最终得到商和余数。
结论
多项式除法是代数中的一个重要概念，它提供了一种系统的方法来处理多项式的除法问题。通过掌握多项式除法的步骤和技巧，可以更有效地解决复杂的代数问题。在实际应用中，可以根据具体情况选择直接使用多项式除法或合成除法来求解。