公因数和公倍数是数学中的基本概念，具体定义如下：
公因数
定义：公因数是指两个或多个整数共有的因数。例如，12和15的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。
性质：任何两个自然数都有公因数1，而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数。
公倍数
定义：公倍数是指两个或多个整数共有的倍数。例如，12和15的公倍数有30、60、90等，其中最小的一个称为这些整数的最小公倍数。
性质：两个或多个整数的公倍数有无数个，而最小公倍数是这些公倍数中最小的一个。
求最大公因数和最小公倍数的方法
最大公因数（GCD）
质因数分解法：将每个数进行质因数分解，然后找出所有公有质因数的最小次方，将这些质因数的乘积即为最大公因数。
短除法：通过连续除以两个数的公有因数，直到找到最大的公有因数为止。
最小公倍数（LCM）
质因数分解法：将每个数进行质因数分解，然后找出所有质因数的最大次方，将这些质因数的乘积即为最小公倍数。
短除法：通过连续除以两个数的公有因数，直到找到最小的公有因数为止，然后将除数相乘即为最小公倍数。
示例
假设我们有两个数12和15：
最大公因数（GCD）：
12的质因数分解：2^2 * 3
15的质因数分解：3 * 5
公有质因数：3
最大公因数：3
最小公倍数（LCM）：
12的质因数分解：2^2 * 3
15的质因数分解：3 * 5
所有质因数的最大次方：2^2 * 3 * 5
最小公倍数：4 * 3 * 5 = 60
通过上述方法，我们可以得出12和15的最大公因数是3，最小公倍数是60。