再审申请司法程序是指当事人对已经发生法律效力的判决、裁定或调解书认为存在错误时，可以向原审人民法院或上一级人民法院提出再审申请的一种法律救济程序。具体程序如下：
提出再审申请
当事人应向原审人民法院或上一级人民法院提交再审申请书及相关证据材料。
再审申请书应包括申请再审的理由及根据、申请再审的内容等。
受理再审申请
人民法院应当在收到再审申请书之日起5日内进行形式审查，符合受理条件的，将受理通知书发送给申请再审人及被申请人，并通知原审其他当事人。
审查再审申请
人民法院将对再审申请进行实质审查，审查方式包括书面审查、调卷审查、询问审查和听证审查等。
审查期间，人民法院可以召开听证程序，听取双方当事人的陈述和意见。
法院做出决定
人民法院经过审查，认为申请再审的理由成立，将作出再审决定，并通知当事人。
人民法院也可以根据案件情况，决定驳回再审申请。
再审审理
人民法院按照审判监督程序重新审判的案件，应当在作出提审或再审决定之日起三个月内审结，需要延长期限的，不得超过六个月。
再审裁判
再审审理结束后，人民法院将依法作出再审裁判，该裁判具有法律效力。
需要注意的是，再审申请应当在判决书或裁定书生效后两年内提出，但特定情况下（如发现审判人员有违法行为）可以在知道或应当知道之日起三个月内提出。
以上是再审申请司法程序的主要步骤和注意事项，供您参考。如有需要，建议咨询专业律师获取更详细的法律帮助。