当犯罪嫌疑人或被告人选择不认罪时，刑事诉讼程序将如下进行：
司法机关举证证明
司法机关，特别是人民检察院，需要承担举证责任，通过调查取证来证明犯罪嫌疑人或被告人构成犯罪。
审判过程中，没有被告人供述的情况下，如果证据确实、充分，法院仍然可以认定被告人有罪并作出刑罚决定。
证据收集与审查
侦查人员必须依照法定程序收集证据，严禁使用非法手段如刑讯逼供、威胁、引诱、欺骗等。
证据必须经过严格审查，确保其真实性、合法性。
案件审理
开庭后，法院将根据事实和证据认定犯罪事实。如果证据充分，法院可作出有罪判决；若证据不足，则可能作出无罪判决。
被告人虽然不认罪，但法院会综合考虑庭审情况和证据情况来作出最终判决。
上诉权利
无论是法院作出有罪判决还是无罪判决，当事人均有权提起上诉。
不起诉决定
对于犯罪情节轻微，依法不需要判处刑罚或免除刑罚的案件，人民检察院可以作出不起诉决定。
处理轻微刑事案件
随着宽严相济刑事政策的落实，检察机关在处理轻微刑事案件时，运用定罪不起诉权的情况将越来越多，这有助于化解社会矛盾和维护社会和谐稳定。
综上所述，不认罪的案件将经过严格的证据收集、审查，并由法院根据事实和证据作出判决。被告人有权在判决后提起上诉，而检察院在证据不足的情况下可以作出不起诉决定。整个过程中，必须严格遵守法律规定，确保司法公正。