傅里叶级数展开是将周期函数表示为无穷级数的一种方法，由法国数学家约瑟夫·傅里叶在19世纪初提出。具体来说，一个周期函数可以表示为不同频率的正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的基本形式如下：
$$ f（x） = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left（ a_n \cos \frac{n\pi x}{l} + b_n \sin \frac{n\pi x}{l} \right） $$
其中，$a_0, a_n, b_n$ 是傅里叶系数，$l$ 是函数的周期的一半，$x$ 是函数的自变量。
傅里叶系数的计算公式如下：
$$ a_0 = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f（x） \, dx $$
$$ a_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f（x） \cos \frac{n\pi x}{l} \, dx $$
$$ b_n = \frac{1}{l} \int_{-l}^{l} f（x） \sin \frac{n\pi x}{l} \, dx $$
对于满足狄利克雷条件的周期函数，傅里叶级数在区间 $[-π, π]$ 内收敛于函数本身。
傅里叶级数在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛应用，并且被认为是研究周期现象的基础工具之一