泰勒展开式是一种用多项式来近似函数的方法，它在数学、物理和工程等领域有广泛应用。以下是一些常用的泰勒展开式公式：
指数函数
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots
$$
自然对数函数
$$
\ln（1+x） = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^k}{k} + \cdots \quad （|x| < 1）
$$
正弦函数
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!} + \cdots \quad （x < \infty）
$$
余弦函数
$$
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + （-1）^k \frac{x^{2k}}{（2k）!} + \cdots \quad （x < \infty）
$$
反正弦函数
$$
\arcsin x = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots + \frac{（2k-1）!! \cdot x^{2k+1}}{（2k）!! \cdot （2k+1）} + \cdots \quad （|x| < 1）
$$
反余弦函数
$$
\arccos x = \frac{\pi}{2} - \left（ x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots + \frac{（2k-1）!! \cdot x^{2k+1}}{（2k）!! \cdot （2k+1）} + \cdots \right） \quad （|x| < 1）
$$
正切函数
$$
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots + \frac{（2k-1）!! \cdot x^{2k-1}}{（2k）!! \cdot （2k+1）} + \cdots \quad （x \leq 1）
$$
反正切函数
$$
\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{2k-1} + \cdots \quad （x < \infty）
$$
这些公式在求极限、近似计算函数值等方面非常有用。在使用泰勒展开式时，通常需要关注余项的大小，以确保近似的准确性。