欧拉公式有以下几种形式：
复变函数中的欧拉公式
$$
e^{ix} = \cos（x） + i \sin（x）
$$
其中，$e$ 是自然对数的底数，$i$ 是虚数单位，$x$ 是任意复数。
欧拉多面体公式
在任何一个规则球面地图上，用 $R$ 记区域个数，$V$ 记顶点个数，$E$ 记边界个数，则：
$$
R + V - E = 2
$$
这个公式于 1640 年由 Descartes 首先给出证明，后来 Euler（欧拉）于 1752 年又独立地给出证明。
欧拉函数公式
在初等数论中，欧拉函数 $\phi（n）$ 定义为小于等于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数的个数。欧拉公式可以表示为：
$$
\phi（n） = n \left（1 - \frac{1}{p_1}\right） \left（1 - \frac{1}{p_2}\right） \cdots \left（1 - \frac{1}{p_k}\right）
$$
其中 $p_1, p_2, \ldots, p_k$ 是 $n$ 的所有不同的质因数。
这些公式展示了欧拉在数学、物理和工程学中的广泛应用和深远影响。复变函数中的欧拉公式尤其著名，因为它建立了复数、指数函数和三角函数之间的紧密联系，并且这种联系在复变函数论中具有重要地位。