对称矩阵是指一个方阵，它的转置矩阵等于它本身，即矩阵的每一个元素 $a（i,j）$ 都等于 $a（j,i）$。这意味着对称矩阵沿主对角线对称。以下是一些对称矩阵的例子：
单位矩阵
单位矩阵是一个对角线上元素全为1，其余元素全为0的方阵。对于任意阶数的单位矩阵，它都是对称矩阵。例如，3阶单位矩阵如下：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
由于 $I = I^T$，单位矩阵满足对称矩阵的定义。
二维平面上的点积矩阵
在二维平面上，给定一个点集，可以构造一个点积矩阵，其中每个元素 $a（i,j）$ 表示第 $i$ 个点和第 $j$ 个点之间的点积。这个矩阵是对称的，因为 $a（i,j） = a（j,i）$。例如，对于点集 $\{（1,2）, （3,4）, （5,6）\}$，点积矩阵为：
$$
\begin{bmatrix}
1*1 + 2*3 + 0*5 & 1*2 + 2*4 + 0*6 \\
1*1 + 3*3 + 0*5 & 1*2 + 3*4 + 0*6
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
11 & 10 \\
11 & 14
\end{bmatrix}
$$
由于 $A = A^T$，这个矩阵是对称的。
三维空间中的内积矩阵
在三维空间中，给定一个点集，可以构造一个内积矩阵，其中每个元素 $a（i,j）$ 表示第 $i$ 个点和第 $j$ 个点之间的内积。这个矩阵也是对称的，因为 $a（i,j） = a（j,i）$。例如，对于点集 $\{（1,2,3）, （4,5,6）, （7,8,9）\}$，内积矩阵为：
$$
\begin{bmatrix}
1*1 + 2*4 + 3*7 & 1*2 + 2*5 + 3*8 & 1*3 + 2*6 + 3*9 \\
1*1 + 4*4 + 7*7 & 1*2 + 4*5 + 7*8 & 1*3 + 4*6 + 7*9 \\
1*1 + 3*4 + 9*7 & 1*2 + 3*5 + 9*8 & 1*3 + 3*6 + 9*9
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
66 & 74 & 90 \\
66 & 74 & 90 \\
66 & 74 & 90
\end{bmatrix}
$$
由于 $A = A^T$，这个矩阵是对称的。
这些例子展示了对称矩阵在不同情况下的应用。对称矩阵在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，特别是在处理线性变换、特征值问题和正交化等方面。