多项式除以多项式的计算可以通过长除法进行。下面是一个简单的步骤示例：
确定被除多项式和除数多项式的次数，将它们按照降幂排列。
将被除多项式的最高次项与除数多项式的最高次项相除，得到商的最高次项。
将得到的商的最高次项与除数多项式相乘，得到一个中间结果。
将中间结果与被除多项式相减，得到一个新的多项式。
重复步骤2至步骤4，直到新的多项式的次数小于除数多项式的次数，无法再继续相除为止。
最后得到的商就是多项式除法的商，余数则是最后剩下的新的多项式。
例如，计算 $（3x^2 + 4x + 1） \div （x + 1）$：
1. 被除多项式 $3x^2 + 4x + 1$，除数多项式 $x + 1$。
2. 最高次项相除：$3x^2 \div x = 3x$。
3. 乘法：$3x \cdot （x + 1） = 3x^2 + 3x$。
4. 相减：$（3x^2 + 4x + 1） - （3x^2 + 3x） = x + 1$。
5. 继续除法：$x \div x = 1$。
6. 乘法：$1 \cdot （x + 1） = x + 1$。
7. 相减：$（x + 1） - （x + 1） = 0$。
所以，$（3x^2 + 4x + 1） \div （x + 1） = 3x + 1$，余数为 $0$。
建议：在实际操作中，可以使用竖式计算来辅助理解每一步的计算过程，确保每一步都准确无误。