快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的算法，用于计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换。它将DFT的计算复杂度从O（N^2）降低到O（N log N），从而显著提高了计算效率。
FFT的基本原理包括两个主要步骤：分解和合成。在分解阶段，将大问题分解为小问题；在合成阶段，重新组合这些小问题的解以得到最终结果。具体来说，FFT利用了单位根的性质和分治策略，将一个N点的DFT分解为两个N/2点的DFT，然后通过递归地应用这一过程，最终将N点DFT分解为一系列更小的DFT。
FFT算法的核心思想是将DFT矩阵分解为稀疏（大多为零）因子之积，从而加速计算。这种分解和合成的方法使得FFT能够在O（N log N）的时间内完成DFT的计算，相比于直接计算DFT的O（N^2）复杂度，这是一个质的飞跃。
在实际应用中，FFT广泛应用于信号处理、图像处理、通信等领域，特别是在处理大量数据时，FFT能够显著减少计算量和提高计算效率。例如，在处理音频信号、图像信号或进行频谱分析时，FFT都是不可或缺的工具。