积分变换是数学中一种重要的分析工具，它通过将一个函数从时域转换到频域或复频域，从而简化问题并帮助解决复杂的微分方程等问题。常见的积分变换包括傅里叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。
傅里叶变换
定义：将时间域信号 \（ f（t） \） 转换为频率域信号 \（ F（\omega） \），公式为：
\[
F（\omega） = \mathcal{F}\{f（t）\} = \int_{-\infty}^{+\infty} f（t） e^{-j\omega t} \, dt
\]
性质：
线性性质
移位性质
卷积性质
相似性质
应用：信号处理、通信、图像处理等。
拉普拉斯变换
定义：将时间域函数 \（ f（t） \） 转换为复频域函数 \（ F（s） \），公式为：
\[
F（s） = \mathcal{L}\{f（t）\} = \int_{0}^{+\infty} f（t） e^{-st} \, dt
\]
性质：
线性性质
移位性质
初值定理
终值定理
应用：电路分析、控制理论、概率论等。
Z变换
定义：将离散时间信号 \（ f（nT） \） 转换为复频域函数 \（ F（z） \），公式为：
\[
F（z） = \mathcal{Z}\{f（nT）\} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} f（nT） z^{-n}
\]
性质：
线性性质
应用：数字信号处理、控制系统等。
积分变换在许多领域都有广泛应用，如工程、物理和数学等。通过选择不同的积分域和变换核，可以解决各种实际问题，如求解微分方程、分析信号特性等。掌握积分变换的基本知识和公式对于深入理解和应用这些工具至关重要。