基本不等式
$a + b \geq 2\sqrt{ab}$（当且仅当 $a = b$ 时，等号成立）。
平方和与平方差
$a^2 + b^2 \geq 2ab$（当且仅当 $a = b$ 时，等号成立）。
$a^2 + b^2 \geq \frac{（a + b）^2}{2}$。
均值不等式
对于非负实数 $a, b$，有 $\sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} \geq \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$（当且仅当 $a = b$ 时，等号成立）。
对于正实数 $a, b, c$，有 $a + b + c \geq 3\sqrt{abc}$。
柯西不等式
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n, b_1, b_2, \ldots, b_n$ 均为实数，则有 $（a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n）^2 \leq （a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2）（b_1^2 + b_2^2 + \ldots + b_n^2）$，当且仅当 $a_i = \lambda b_i$（$\lambda$ 为常数，$i = 1, 2, \ldots, n$）时取等号。
排序不等式
设 $a_1, a_2, \ldots, a_n； b_1, b_2, \ldots, b_n$ 均为实数，且 $a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n, b_1 \geq b_2 \geq \ldots \geq b_n$，则有：
$a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \geq a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_3 + \ldots + a_ib_j + \ldots + a_nb_1$（乱序和）。
$a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n \geq a_1b_n + a_2b_{n-1} + a_3b_{n-2} + \ldots + a_nb_1$（逆序和）。
特殊不等式
$ab \leq \left（\frac{a + b}{2}\right）^2$（当且仅当 $a = b$ 时，等号成立）。
$|a - b| \leq |a| + |b|$。
这些不等式公式在数学证明、函数最值求解以及实际问题分析中非常有用。建议熟练掌握这些不等式，并在实际问题中灵活应用。