柯西不等式，也称为柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是由法国数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。这个不等式在数学分析中有着广泛的应用，是高等数学研究内容之一。
柯西不等式的基本形式如下：
基本形式
$$
（a^2 + b^2）（c^2 + d^2） \geq （ac + bd）^2
$$
二维形式
$$
（\sqrt{a^2 + b^2}）^2 + （\sqrt{c^2 + d^2}）^2 \geq （\sqrt{a - c}）^2 + （\sqrt{b - d}）^2
$$
绝对值形式
$$
|a||b| \geq |a \cdot b|
$$
求和形式
$$
（\sum a_i^2）（\sum b_i^2） \geq （\sum a_i \cdot b_i）^2
$$
等号成立的条件是：
对于基本形式，当且仅当 $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ 时取等号。
对于二维形式，当且仅当 $a = c$ 且 $b = d$ 时取等号。
对于绝对值形式，当且仅当 $a$ 和 $b$ 同号时取等号。
对于求和形式，当且仅当 $a_i$ 和 $b_i$ 成比例时取等号。
柯西不等式在解决不等式证明、向量长度计算、概率论和统计学等领域有着重要的应用。例如，在向量空间中，它可以用来证明向量的长度平方和乘积的关系，或者在概率论中用来推导随机变量的期望和方差之间的关系。
这个不等式不仅展示了数学分析中的深刻理论，也在实际应用中发挥着关键作用，是高等数学中不可或缺的一部分。