几何级数，也称为等比级数，是一种特殊的数列，其中每个后续的项都是前一项乘以一个固定的非零常数，这个常数称为公比。几何级数的一般形式如下：
\[ S = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^n + \cdots \]
其中：
\（ S \） 表示几何级数的和；
\（ a \） 是第一项；
\（ r \） 是公比（即每一项与前一项的比值）；
\（ n \） 表示项的序号，通常从0开始或从1开始，取决于问题的要求。
几何级数的性质
收敛性
如果公比 \（ r \） 不等于1，几何级数一定存在，并且会收敛到一个特定的值。
如果 \（ |r| < 1 \），级数收敛；
如果 \（ |r| \geq 1 \），级数发散。
求和公式
几何级数的和 \（ S \） 可以通过公式 \（ S = \frac{a}{1 - r} \） 计算出来，前提是 \（ |r| < 1 \）。
历史背景
几何级数的概念可以追溯到古代美索不达米亚的早期王朝，例如在粘土板MS3047中发现的底数为3、乘数为1/2的几何级数。
应用
几何级数在数学和实际应用中都非常重要，例如在人口增长模型、放射性衰变、金融投资回报计算等领域都有广泛应用。
示例
一个常见的几何级数示例是人口按照1, 2, 4, 8, 16, ...这样的等比数列增长。
通过以上信息，我们可以看到几何级数不仅在数学理论中有重要地位，而且在实际应用中也发挥着关键作用。