阿基米德折弦定理是指 在一个圆中，一条由两段不同长度的弦组成的折弦所对的两段弧的中点，在较长弦上的射影，就是折弦的中点。具体来说，如果AB和BC是圆O的两条弦，且AB > BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D，那么AD = DB + BC，且AB - BC = 2DB。
这个定理的证明方法有多种，以下是三种常见的证明方法：
截长法
在AD上取一点E，使AE = BC，连接AM、EM、BM、CM。
因为点M是弧ABC的中点，所以∠EAM = ∠BCM（同弧所对的圆周角相等），AE = BC，所以AEM ≌ CBM。
从而EM = BM。
又因为MD ⊥ BE，所以DE = DB。
则AD = AE + DE = BC + DB，AB - BC = AE + DE + DB - BC = DE + DB = 2DB。
补短法
延长DB至F，使BF = BA。
因为M是弧ABC的中点，所以∠MCA = ∠MAC = ∠MBC。
因为MBAC四点共圆，所以∠MCA + ∠MBA = 180°，∠MBC + ∠MBF = 180°。
从而∠MBA = ∠MBF，MB = MB，BF = BA，所以MBF ≌ MBA。
从而∠F = ∠MAB = ∠MCB，MF = MC。
因为MD ⊥ CF，所以CD = DF = DB + BF = AB + BD。
垂线法
作MH ⊥ 射线AB，垂足为H。
因为M是弧ABC的中点，所以MA = MC，MD ⊥ BC，所以∠MDC = 90° = ∠H。
因为∠MAB = ∠MCB，所以MHA ≌ MDC（AAS），从而AH = CD，MH = MD。
又因为MB = MB，所以RtMHB ≌ RtMDB（HL）。
从而得出CD = AB + BD。
阿基米德折弦定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆相关的几何问题时，能够提供简洁有效的解决方案。