雅可比行列式，也称为雅可比式，是一个 由函数的一阶偏导数组成的矩阵的行列式。具体来说，如果有一个n维向量函数 $\mathbf{f}（x_1, x_2, \ldots, x_n）$，那么它的雅可比矩阵 $J$ 是一个 $n \times n$ 的矩阵，其中每个元素 $J_{ij}$ 是函数 $f_i$ 对变量 $x_j$ 的一阶偏导数。雅可比行列式就是矩阵 $J$ 的行列式，记作 $\det（J）$。
雅可比行列式在多个领域中都有重要的应用：
线性代数：
雅可比行列式用于了解函数在某一点的局部线性行为，以及在变量变换中的伸缩因子。
微分方程：
在求解微分方程时，雅可比行列式用于判断函数的可微性和计算微分方程的解。
坐标变换：
在坐标变换中，雅可比行列式表示变换后的空间与原空间的面积（二维）或体积（三维）的比例，也称为缩放因子。
代数几何：
在代数几何中，雅可比行列式用于描述代数曲线和曲面，以及它们在坐标变换下的性质。
计算雅可比行列式的步骤通常包括：
1. 写出函数的一阶偏导数组成的矩阵（雅可比矩阵）。
2. 计算这个矩阵的行列式，得到雅可比行列式。
需要注意的是，如果雅可比矩阵是一个方阵，那么它的行列式才有定义。此外，如果在一个连通区域内雅可比行列式处处不为零，那么它在该区域内处处为正或者处处为负。如果雅可比行列式恒等于零，则函数组是函数相关的，其中至少有一个函数是其余函数的一个连续可微的函数。