三阶行列式是由三行三列构成的矩阵，记作 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}$。三阶行列式的值可以通过以下公式计算：
$$
D = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}
$$
或者，三阶行列式也可以通过展开式计算：
$$
D = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}
$$
其中，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式，即划去 $a_{ij}$ 所在的行和列后得到的二阶行列式，再乘以 $（-1）^{i+j}$。
计算步骤
按行或列展开：
可以选择按第一行、第二行或第三行展开，或者按第一列、第二列或第三列展开。
计算余子式：
对于选定的行或列中的每个元素，划去该元素所在的行和列，得到一个二阶行列式，这个二阶行列式称为余子式。
计算代数余子式：
将余子式乘以 $（-1）^{i+j}$，其中 $i$ 和 $j$ 分别是元素所在的行和列的编号。
求和：
将所有代数余子式相加，得到行列式的值。
性质
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
如果行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此行列式。
几何意义
三阶行列式的值可以表示平行六面体的体积。在几何上，三阶行列式与平行六面体的体积有着直接的联系，通过行列式的计算可以求出平行六面体的体积。
示例
计算三阶行列式 $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$：
1. 按第一行展开：
$$
D = 1 \cdot （5 \cdot 9 - 6 \cdot 8） - 2 \cdot （4 \cdot 9 - 6 \cdot 7） + 3 \cdot （4 \cdot 8 - 5 \cdot 7）
$$
2. 计算每一项：
$$
D = 1 \cdot （45 - 48） - 2 \cdot （36 - 42） + 3 \cdot （32 - 35）
$$
3. 继续计算：
$$
D = 1 \cdot （-3） - 2 \cdot （-6） + 3 \cdot （-3）
$$
4. 最终结果：
$$
D = -3 + 12 - 9 = 0
$$
因此，三阶行列式 $\begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}$ 的值为 0。