求三阶矩阵的逆矩阵主要有以下几种方法：
伴随矩阵法
首先计算矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$。伴随矩阵的元素是原矩阵 $A$ 的代数余子式，并且排列顺序要符合一定规则（例如，转置后）。
然后计算矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$。
最后，矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 等于伴随矩阵 $A^*$ 除以行列式 $|A|$，即 $A^{-1} = \frac{A^*}{|A|}$。
初等行变换法
将矩阵 $A$ 和同阶的单位矩阵 $E$ 拼成一个增广矩阵 $（A|E）$。
通过初等行变换将 $A$ 化为单位矩阵 $E$，同时对 $E$ 进行相同的初等行变换，最终得到 $A^{-1}$。
待定系数法
假设矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 是一个三阶矩阵，用待定系数法设 $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$。
根据 $AA^{-1} = E$，列出方程组并求解 $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ 的值。
示例
假设我们有一个三阶矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$，我们可以通过伴随矩阵法来求其逆矩阵：
1. 计算伴随矩阵 $A^*$：
$A_{11} = （-3） \times （-1） - 0 \times 1 = 3$
$A_{12} = 1 \times 0 - （-1） \times 1 = 1$
$A_{13} = 1 \times 1 - （-3） \times 0 = 1$
$A_{21} = 2 \times 0 - （-1） \times 1 = 1$
$A_{22} = 1 \times （-1） - （-1） \times 0 = -1$
$A_{23} = 1 \times 1 - 2 \times 0 = 1$
$A_{31} = （-1） \times 1 - （-3） \times 0 = -1$
$A_{32} = （-1） \times 0 - 2 \times 1 = -2$
$A_{33} = 1 \times 2 - 1 \times （-1） = 3$
伴随矩阵 $A^* = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
2. 计算行列式 $|A|$：
$|A| = 1 \times （-1） \times 3 + 2 \times 0 \times 1 + （-1） \times 1 \times 1 - 1 \times （-1） \times 1 - 2 \times 0 \times 3 - 1 \times 1 \times （-1） = -3 + 0 - 1 + 1 + 0 + 1 = -2$
3. 计算逆矩阵 $A^{-1}$：
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \end{bmatrix}$
因此，矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 为 $\begin{bmatrix} -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &