范德蒙行列式是一种特殊形式的行列式，常用于多项式理论和插值中。其命名来源于法国数学家Alexandre-Théophile Vandermonde。范德蒙行列式的每一行的元素是前一行的元素依次乘以一个固定的数。具体来说，如果我们有一组变量 $x_1, x_2, \ldots, x_n$，那么一个 $n \times n$ 的范德蒙行列式可以表示为：
$$
V（x_1, x_2, \ldots, x_n） = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
范德蒙行列式的值可以通过以下公式计算：
$$
V（x_1, x_2, \ldots, x_n） = \prod_{1 \leq i < j \leq n} （x_j - x_i）
$$
这个公式表明，范德蒙行列式的值等于所有可能的差的乘积。
范德蒙行列式在计算矩阵的特征值时非常有用，尤其是在计算高阶多项式的根时。例如，如果矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f（\lambda） = \det（A - \lambda I）$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\lambda$ 是特征值，那么范德蒙行列式可以表示为：
$$
V（A） = \det（A - \lambda I） = \lambda^n - 1
$$
其中，$\lambda$ 是特征值，$n$ 是特征值的个数。
总结：
1. 范德蒙行列式是一种特殊形式的行列式，常用于多项式理论和插值中。
2. 其标准形式为 $V（x_1, x_2, \ldots, x_n） = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$。
3. 范德蒙行列式的值可以通过公式 $V（x_1, x_2, \ldots, x_n） = \prod_{1 \leq i < j \leq n} （x_j - x_i）$ 计算。
4. 范德蒙行列式在计算矩阵的特征值时非常有用，尤其是在计算高阶多项式的根时。