泰勒公式是一种将函数表示为其在某点附近的幂级数的方法。对于一个在某点处具有n阶导数的函数，其泰勒展开式如下：
\[ f（x） = f（a） + f'（a）（x-a） + \frac{f''（a）}{2!}（x-a）^2 + \cdots + \frac{f^n（a）}{n!}（x-a）^n + R_n（x） \]
其中，\（ f^n（a） \） 表示函数 \（ f（x） \） 在点 \（ a \） 处的第 \（ n \） 阶导数，\（ R_n（x） \） 是泰勒公式的余项，它衡量了截断误差。
对于常见的函数，泰勒展开式可以写得非常具体。以下是一些常见函数的泰勒展开式：
指数函数\（ e^x \）
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots \]
自然对数函数\（ \ln（1+x） \）
\[ \ln（1+x） = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^k}{k} + \cdots \quad （|x| < 1） \]
正弦函数\（ \sin x \）
\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots + （-1）^{k-1} \frac{x^{2k-1}}{（2k-1）!} + \cdots \]
余弦函数\（ \cos x \）
\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + （-1）^k \frac{x^{2k}}{（2k）!} + \cdots \]
这些展开式在数学、物理和工程等领域有广泛的应用，特别是在处理近似计算和误差分析时非常有用。