辅助角公式用于将形如 $a\sin x + b\cos x$ 的表达式化简为单个正弦函数的形式，以便于求解最值问题和周期问题等。公式如下：
$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin（x + \arctan（\frac{b}{a}））$$
其中，$\tan \varphi = \frac{b}{a}$，且 $\varphi$ 是辅助角。
推导过程
设定辅助角
设 $\varphi$ 为辅助角，使得：
$$\cos \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
代入原式
将 $\cos \varphi$ 和 $\sin \varphi$ 代入原式：
$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \left（ \sin x \cos \varphi + \cos x \sin \varphi \right）$$
利用和角公式
利用正弦的和角公式 $\sin（A + B） = \sin A \cos B + \cos A \sin B$，得到：
$$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \sin（x + \varphi）$$
验证结果
通过三角恒等式和定义验证，可以确认上述结果的正确性。
几何解释
从几何角度来看，辅助角公式可以通过复数的指数形式和三角函数的加法定理来推导。具体来说，可以将 $a\sin x + b\cos x$ 表示为复数指数的形式，然后利用欧拉公式 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ 进行化简，最终得到辅助角公式的形式。
应用
辅助角公式在解决三角函数的最值问题、周期问题等方面非常有用。例如，在求解 $y = a\sin x + b\cos x$ 的最大值和最小值时，可以通过辅助角公式将其转化为单一的正弦函数，从而更容易地找到最大值和最小值。
总结
辅助角公式是三角函数中一个非常重要的工具，通过设定辅助角和利用三角函数的和角公式，可以将多个三角函数的和化简为单个正弦函数的形式，从而简化求解过程。