在数控编程中，实现直线和圆弧的平滑过渡通常涉及以下步骤：
确定圆弧的起点、终点和圆心位置
起点（P1）和终点（P2）是已知的直线段。
圆心（C）的位置可以通过中点（M）和半径（r）计算得出，公式为：
\[
cx = mx + \frac{dy \cdot radius}{\sqrt{dx^2 + dy^2}}
\]
\[
cy = my - \frac{dx \cdot radius}{\sqrt{dx^2 + dy^2}}
\]
计算过渡圆弧的半径
半径（radius）根据加工要求和机床能力进行选择。
计算过渡圆弧的起点和终点角度
起点角度（start_angle）可以通过atan2函数计算：
\[
start_angle = \arctan2（y1 - cy, x1 - cx）
\]
终点角度（end_angle）同样通过atan2函数计算：
\[
end_angle = \arctan2（y2 - cy, x2 - cx）
\]
插补过渡圆弧
根据起点、终点和圆心位置进行插补，生成圆弧的参数方程。
考虑机床的控制方式
在运动控制中，为了减少速度方向的改变所造成的冲击，可以在两条线段相交的拐角处使用圆弧进行过渡，并开启速度前瞻功能。
编写循环程序
将过渡圆弧拆分成多个小线段，编写循环程序控制机床按照指定的路径进行加工。
```c
include
// 定义直线段和圆弧的参数
double x1 = 0, y1 = 0； // 直线段1的起点
double x2 = 100, y2 = 100； // 直线段1的终点
double x3 = 110, y3 = 90； // 直线段2的起点
double radius = 50； // 圆弧的半径
// 计算中点
double mx = （x1 + x2） / 2；
double my = （y1 + y2） / 2；
// 计算圆心位置
double cx = mx + （y2 - y1） * radius / sqrt（pow（x2 - x1, 2） + pow（y2 - y1, 2））；
double cy = my - （x2 - x1） * radius / sqrt（pow（x2 - x1, 2） + pow（y2 - y1, 2））；
// 计算起点和终点角度
double start_angle = atan2（y1 - cy, x1 - cx）；
double end_angle = atan2（y2 - cy, x2 - cx）；
// 插补圆弧
// 这里可以编写代码来控制机床按照圆弧参数进行插补
```
通过上述步骤和代码示例，可以实现直线和圆弧之间的平滑过渡。实际编程中可能需要根据具体的机床控制系统和编程环境进行调整。