行政申诉程序是指公民、法人或其他组织对行政机关作出的具体行政行为不服，依法向上级行政机关或同级行政机关提出请求改正、撤销或者确认其非法性的行政救济手段。申诉人可以通过口头或书面方式提出申诉，要求行政机关进行调查、听取申诉人陈述、提供证据等。行政机关应当在规定的期限内对申诉进行复核、处理，并作出书面答复。
行政申诉程序的主要步骤包括：
立案
有抗诉权或者有提请抗诉权的人民检察院，对有下列情形之一的，应当自受理之日起30日内立案：
原判决、裁定认定事实的主要证据可能不足的；
原判决、裁定适用法律可能错误的；
原审人民法院违反法定程序，可能影响案件正确判决、裁定的；
有证据证明审判人员在审理案件时有贪污受贿、徇私舞弊或者枉法裁判行为的。
人民检察院决定立案的行政申诉案件，应当通知申诉人和其他当事人。其他当事人可以在收到《立案通知书》之日起15日内提出书面意见。人民检察院决定不立案的案件，应当通知申诉人。
审查
人民检察院立案以后，应当及时指定检察人员对人民法院的行政诉讼审判活动调卷审查，并在立案以后三个月内审查终结。
对于审查终结的案件，人民检察院应当分别情况作出是否提出抗诉的决定。
提请抗诉
地方各级人民检察院对同级人民法院已经发生法律效力的行政判决、裁定，经审查认为符合抗诉条件的，应当提请上一级人民检察院抗诉。
抗诉
上一级人民检察院对提请抗诉的案件进行审查，认为符合抗诉条件的，可以决定抗诉。抗诉由最高人民检察院向最高人民法院提出。
审理
人民法院接到抗诉后，应当组成合议庭，对案件进行审理。审理可以开庭审理，也可以书面审理。
审理终结后，人民法院应当根据审理结果作出判决或裁定，纠正原判决、裁定中的错误。
执行
人民法院作出的判决或裁定，申诉人应当履行。如果申诉人不履行，行政机关可以申请人民法院强制执行。
通过以上步骤，行政申诉程序为公民、法人或其他组织提供了一种合法途径来解决与行政机关之间的争议和纠纷，保障了其合法权益。